Unidad 3

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS 

NÚMEROS REALES

Son los que abarcan a los números racionales y los números irracionales. Se los representan con la letra R

NÚMEROS RACIONALES 

Es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más.

NÚMEROS IRRACIONALES

Un número irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas.

NÚMEROS NATURALES

Son los números con los que contamos los elementos de un conjunto, o expresamos el orden o la posición que ocupa un elemento en un conjunto.

NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos y el cero.

RECTA NUMÉRICA

Es la representación gráfica de los números Enteros

NÚMEROS PRIMOS 

Son aquellos que solo son divisibles entre ellos mismos y la unidad.

NÚMEROS COMPUESTOS

Son aquellos números que además de ser divisibles por ellos mismos y la unidad, también son divisibles por otros números.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m)

Es el menor entero positivo que es el múltiplo de cada uno de los números dados

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)

Es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los números del conjunto.

REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

NOTA: En una fracción el denominador no no puede ser 0

OPERACIONES ENTRE NÚMEROS REALES 

ADICIÓN.-

Sean a y b números reales, entonces la adición o suma de estos números se le denota como a+b y cumple con las siguientes propiedades:

1. a+b=b+a. La suma Conmutativa
2. a+(b+c)=(a+b)+c. La suma es Asociativa
3. a+0=a. Donde 0 es llamado Idéntico Aditivo
4. a+(-a)=0. Donde -a es llamado Inverso Aditivo de a

RESTA

Se la considera como una suma de a con el inverso aditivo de , es decir: a +(-b)

MULTIPLICACIÓN

Sean a y b números reales, entonces la multiplicación de estos números se la denota como a*b y cu,ple con las siguientes propiedades:

1. a*b=b*a. La multiplicación es Conmutativa
2. a*(b*c)=(a*b)*c. Lamultiplicación es Asociativa
3. a*1=a. Donde 14 es llamado Idéntico Multiplicativo
4. a*(1/a)=1. Donde 1/a es llamado Inverso Multiplicativo de a*a(a≠0) 

DIVISIÓN
Se la considera como una multiplicación al inverso 

OPERACIONES COMBINADAS

Para resolver las operaciones combinadas se realiza lo siguiente:

• Efectuar las operaciones entre paréntesis del más interno al más externo 
• Desarrollar potencias de raíces 
• Desarrollar multiplicación y división de izquierda a derecha
• Desarrollar las sumas y las restas de izquierda a derecha

Ejemplo:

40/5+8²*3

40/5+64*3

8+64*3

8+192

200

EJERCICIOS

En este ejemplo, tenemos paréntesis. Por tanto, tenemos que resolver las operaciones que hay dentro de ellos. ¡Cuidado! Dentro de los paréntesis hay varias operaciones, por eso tenemos que fijarnos en hacer primero las multiplicaciones y divisiones dentro de los paréntesis:

Una vez que tengamos presente qué operaciones son las que tenemos que resolver primero, podemos calcularlas:

Ahora, como dentro de los paréntesis hay solo una operación podemos resolverlos:

Una vez quitados los paréntesis volvemos a fijarnos en las operaciones. Primero hay que hacer la multiplicación:

Una vez resuelta la multiplicación podemos resolver la expresión:

NÚMEROS DECIMALES 

TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES 

• Decimales Finitos (0,25; 2,4)
• Decimales Infinitos Periódicos (0,333....)
• Decimales Infinitos Semiperiódicos (2,1666...)

TRANSFORMACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES 

DECIMALES FINITOS 

Se caracteriza por tener una cantidad finita de dígitos después de la coma decimal, hacia la derecha.

DECIMALES INFINITOS PERIÓDICOS

Se caracterizan por tener uno o más dígitos que se repiten infinitamente en el mismo orden, inmediatamente después de la coma decimal hacia la derecha. La cifra que se repite se llama periodo.

DECIMALES INFINITOS SEMIPERIÓDICOS

Se caracterizan por tener una o más cifras ates del periodo, que forman lo que denomina el anteperiodo

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.

Ejemplo

a) x²+2xy 

EXPRESIONES ALGEBRAICAS COMUNES

• El doble o duplo de un número : 2x
• El triple de un número: 3x
• El cuadrúplo de un número : 4x
• La mitad de un número x/2

Sumar los polinomios:

Solución:

Ordenamos y completamos:

Es igual a:

Respuesta:

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN 

Es una comparación entre dos cantidades, a y b.

Se representa: 

Los demógrafos que estudian la evolución de las poblaciones, utilizan la razón para establecer natalidad anual 

PROPORCIÓN

Es una igualdad de dos razones equivalentes. Se representa de la siguiente manera:

A:B=C:D ó A/B=C/D

PROPORCIÓN DIRECTA

Es cuando al aumenta una magnitud también aumenta la otra; o cuando disminuye la una , la otra también lo hace.

PROPORCIÓN INVERSA

Es cuando al aumentar el alor de una magnitud, disminuye la otra, o viceversa.

PROPORCIÓN COMPUESTA

Son las que tienen más de dos magnitudes

VALOR ABSOLUTO 

El valor absoluto de un número consiste en su valor, sin importar su signo.

El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente. Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número, variable o expresión dentro de barras verticales, así:

|20|

|x|

|4n − 9|

Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre positivo o cero. Si el valor original ya es positivo o cero, el valor absoluto es el mismo. Si el valor original es negativo, simplemente nos deshacemos del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5. El valor absoluto de -5 es también 5.

Ejemplo
Valor	Valor Absoluto
5	5
-5	5

ECUACIONES E IGUALDADES

IGUALDAD

Es aquella que se compone de dos expresiones numéricas unidas por el signo igual.

ECUACIÓN

Es aquella que contiene en sus miembros incógnitas. También se puede llamar igualdad algebraica

.Ejemplo:

x+10=20-12

PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER GRADO 

• Quitar paréntesis
• Suprimir de ambos términos los miembros iguales
• Pasar a un miembro los términos que contengas la incógnita, y al otro miembro los números 
• Reducir términos semejantes
• Despejar la incógnita

ECUACIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO 

Es de la forma ax²+bx+c=0

ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA 

1. Cuando b=0
2. Cuando c=0

ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA

ECUACIÓN CON TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

x²+4x+4=0

(x+2)²=0

DISCRIMINANTE

Se llama discriminante de una ecuación de segundo grado de valor:

Δ=b²-4ac

El nº de soluciones de una ecuación de segundo grado de penderá del signo del determinante 

               

Δ>0➡Tiene 2 soluciones reales distintas 

Δ=0➡Tiene 1 solución DOBLE 

Δ<0➡No tiene solución 

INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

<	menor que	2x − 1 < 7
≤	menor o igual que	2x − 1 ≤ 7
>	mayor que	2x − 1 > 7
≥	mayor o igual que	2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón.

Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

Ejemplos

1. 2x − 1 < 7

2x < 8     x < 4

(-∞, 4)

2. 2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8     x ≤ 4

(-∞, 4]

3. 2x − 1 > 7

2x > 8     x > 4

(4, ∞)

4. 2x − 1 ≥ 7

2x ≥ 8     x ≥ 4

[4, ∞) 

RESOLVER LAS SIGUIENTES INECUACIONES

SUCESIONES

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita

Notación

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

• x_n es el término
• n es la posición de ese término

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

x_n = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x₁₀ = 2n+1 = 2×10+1 = 21

Sucesiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos. 
La regla es x_n = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos. 
La regla es x_n = 5n-2

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es x_n = 2ⁿ

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es x_n = 3ⁿ

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es x_n = 4 × 2^-n