UNIDAD 1
LÓGICA MATEMÁTICA
A la lógica matemática le podemos decir que es una rama, disciplina, etc; lo que fundamental en esto es que trata sobre métodos del razonamiento. en el cual cuya materia prima es la proposición (enunciado) que puede tomar un valor de verdadero o falso.
Se la aplicada en:
- La filosofía
- Matemáticas
- Computación
- Física
PROPOSICIÓN.- es un enunciado u oración que solo puede tomar un valor único de verdadero o de falso.
Ejemplos.-
Ejemplos.-
- "Hoy es lunes"
- "Estoy en clase de matemáticas"
- "Estoy en España"
El enunciado no es proposición cuando:
- La oración denota orden. Ejemplo:
Cierra la puerta (oraciones imperativas) - También están incluidas:
¡Hola que tal! (oraciones exclamativas)
¿Cómo te llamas? (oraciones interrogativas)
Ojalá no haya clases mañana (oraciones desiderativas) - Todo abstracto, ambiguo no es proposición. Ejemplo:
El atardecer en la paya es romántica
Mi familia y yo viajaremos a la sierra en fin de año
VALOR DE VERDAD
El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Este puede ser verdadero o falso.
Notación:
Verdadero: 1,V,T
TABLA DE VERDAD
Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podrían tomar una proposición.
a
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b
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1
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1
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1
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0
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0
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1
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0
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0
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¿Cómo construir una tabla de verdad?
Para construir una tabla de verdad utilizamos la siguiente fórmula: n es el número de proposiciones
Para construir una tabla de verdad utilizamos la siguiente fórmula: n es el número de proposiciones
２^n (n → es el número de proposiciones)
El número de columnas de la tabla viene dado por el número de proposiciones
El número de filas viene dado por la fórmula anterior.
Para 2 proposiciones:
2²= 4
a
|
b
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1
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1
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1
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0
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0
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1
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0
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0
|
OPERADORES LÓGICOS
Su término gramatical es <o>
NOTA: Todos los operadores excepto la condicional aplican la propiedad conmutativa. Pues si se cambia el antecedente con el consecuente la enunciación hipotética cambia.
CLASES DE PROPOSICIONES
ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES
Son elementos que sirven de enlace o nexos entre las proposiciones.
Ejemplos:
Ejemplos:
- No te encontré en tu casa
- Fui al banco y estaba cerrado
- Tengo una moneda de 5 ctvos o una de 10 ctvos.
NEGACIÓN ¬ ～
Es una proposición que cambia el valor de verdad de una proposición.
Se presenta por medio de los términos gramaticales: no, no es verdad, no es cierto.
Su tabla de verdad es la siguiente:
a
|
～a
|
1
|
0
|
0
|
1
|
a: Milagro pertenece al Guayas
～a: Milagro no pertenece al Guayas
b: Tengo un billete de 5 dólares
～ b: No tengo un billete de 5 dólares
CONJUNCIÓN ^
Se presenta con los términos gramaticales: "y", "pero", "más", "también", "sin embargo", "además". Incluyendo también los signos de puntuación como: la coma (,); el punto y coma (;).
Regla: La proposición sólo será verdadera si ambas son verdaderas, caso contario el resultado es falso
Su tabla de verdad es la siguiente:
a
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b
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a^b
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1
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1
|
1
|
1
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0
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0
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0
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1
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0
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0
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0
|
0
|
a: Obtengo buenas notas
b: Gano una beca
a^b: Obtengo buenas y gano una beca
Entonces al suponer que:
Entonces al suponer que:
- Si se tienen las buenas calificaciones y la beca (a=1; b=1) entonces decir "Obtengo buenas notas y gano una beca", será una VERDAD
- Si se tiene buenas calificaciones y no se tiene una beca (a=1; b=0), la proposición "Obtengo buenas calificaciones y gano una beca" es FALSA
- Si no se tiene buenas calificaciones y se gana una beca (a=0; b=1), la proposición dada se tornara en FALSA
- Si no se tiene ninguna de las dos (a=0; b=0), la proposición dada es FALSA
CONJUNCIÓN NEGATIVA ⬇
Regla: El resultado es verdadero únicamente cuando las dos proposiciones son falsas, (ni p, ni q), en cualquier otro caso es falsa.
DISYUNCIÓN ∨
Regla: El resultado es verdadero únicamente cuando las dos proposiciones son falsas, (ni p, ni q), en cualquier otro caso es falsa.
a
|
b
|
a↓b
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1
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1
|
0
|
1
|
0
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0
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0
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1
|
0
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0
|
0
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1
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DISYUNCIÓN ∨
Regla: Sólo hay un valor de falso cuando las dos proposiciones sean falsas, caso contarlo serán verdaderas
Su término gramatical es <o>
Tabla de Verdad
Se le pagará cuando
a: Cumpla con el trabajo
b: Esté en el plazo establecido
avb: Cumpla con el trabajo o esté dentro del plazo establecido
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA V
Nosotros hemos expresado disyuntivas cuando admitimos lo uno ó lo otro, pero no ambas cosas.
Regla: La disyunción exclusiva de dos proposiciones es FALSA siempre y cuando ambas proposiciones sean falsas y también cuando ambas sean verdaderas.
En lenguaje común sería: "o...o...". Así como también el término "o bien...o bien...".
Tabla de Verdad
CONDICIONAL ⟶
Es una combinación de dos proposiciones "si....entonces".
Regla: Solamente habrá un valor de falso cuando la primera es verdadera y la segunda es falsa.
Gramaticalmente se lee "si a entonces b", "a sólo si b", "a solamente si b", "b si a", "si a b", "b
con la condición de que a". Otros lenguajes relacionados son: "a implica b", "basta a para que b", "b puesto que a", "b ya que a".
En este caso ala proposición "a" se le llama: Antecedente
Y a la proposición "b" se le llama: Consecuente
Tabla de verdad
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA V
Nosotros hemos expresado disyuntivas cuando admitimos lo uno ó lo otro, pero no ambas cosas.
Regla: La disyunción exclusiva de dos proposiciones es FALSA siempre y cuando ambas proposiciones sean falsas y también cuando ambas sean verdaderas.
En lenguaje común sería: "o...o...". Así como también el término "o bien...o bien...".
Tabla de Verdad
a
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b
|
avb
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1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
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0
|
CONDICIONAL ⟶
Es una combinación de dos proposiciones "si....entonces".
Regla: Solamente habrá un valor de falso cuando la primera es verdadera y la segunda es falsa.
Gramaticalmente se lee "si a entonces b", "a sólo si b", "a solamente si b", "b si a", "si a b", "b
con la condición de que a". Otros lenguajes relacionados son: "a implica b", "basta a para que b", "b puesto que a", "b ya que a".
En este caso ala proposición "a" se le llama: Antecedente
Y a la proposición "b" se le llama: Consecuente
Tabla de verdad
a
|
b
|
a→b
|
b→a
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1
|
1
|
1
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1
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1
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0
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0
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1
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0
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1
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1
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0
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0
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0
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1
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1
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Ejemplo:
"Si apruebas el pre universitario, entonces te daré un premio"
Supongamos que:
BICONDICIONAL ⇔
"Si apruebas el pre universitario, entonces te daré un premio"
Supongamos que:
- Efectivamente el hijo aprueba el pre universitario, y que el padre le da el premio. Entonces el padre ha dicho una VERDAD.
- Si el hijo aprueba el pre universitario y el padre no le da el premio. Entonces el padre ha dicho una MENTIRA (FALSEDAD)
- Si el hijo aprueba el pre universitario y sin embargo el padre le da el premio, aunque no está obligado a hacerlo. Entonces el padre NO ha dicho una MENTIRA.
- Si el hijo no aprueba el pre universitario y el padre no le da el premio. El padre tampoco ha dicho una MENTIRA
BICONDICIONAL ⇔
Regla: Una proposición es verdadera cuando sus dos componentes son verdaderas o falsos.
Tabla de Verdad
Tabla de Verdad
a
|
b
|
a↔b
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1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
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0
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1
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0
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0
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0
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1
|
NOTA: Todos los operadores excepto la condicional aplican la propiedad conmutativa. Pues si se cambia el antecedente con el consecuente la enunciación hipotética cambia.
CLASES DE PROPOSICIONES
PROPOSICIONES MOLECULARES
Son expresiones que están compuestas por varias proposiciones conectadas por operadores lógicos.
PROPOSICIONES ATÓMICAS
Son las proposiciones simples, en las que no aparecen operadores lógicos
Ejemplo:
((a∨b) ⋀∼c) ➡(a∧b)
Las proposiciones atómicas para este ejemplo serían a, b y c.
El valor de verdad de una proposición molecular depende del valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
Demos valor a las proposiciones atómicas
a≡1 ; b≡0 y c≡1
FORMAS PROPOSICIONALES
Una forma proposicional es una expresión constituida por símbolos que representan o conectores lógicos o variables proposicionales.
Ejemplo:
((p∨q)⋀ ∼ r)➡(p⋀q)
En este ejemplo p, q, r son variables proposicionales, que pueden representar proposiciones anatómicas o moleculares, pues si llegamos a reemplazar estas variables los resultados serán proposiciones moleculares y por ende ahí esta oculto el valor de verdad de las proposiciones atómicas.
Para resolver todo esto y conocer su valor de verdad, se utiliza la tabla de verdad.
Son expresiones que están compuestas por varias proposiciones conectadas por operadores lógicos.
PROPOSICIONES ATÓMICAS
Son las proposiciones simples, en las que no aparecen operadores lógicos
Ejemplo:
((a∨b) ⋀∼c) ➡(a∧b)
Las proposiciones atómicas para este ejemplo serían a, b y c.
El valor de verdad de una proposición molecular depende del valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.
Demos valor a las proposiciones atómicas
a≡1 ; b≡0 y c≡1
Una forma proposicional es una expresión constituida por símbolos que representan o conectores lógicos o variables proposicionales.
Ejemplo:
((p∨q)⋀ ∼ r)➡(p⋀q)
En este ejemplo p, q, r son variables proposicionales, que pueden representar proposiciones anatómicas o moleculares, pues si llegamos a reemplazar estas variables los resultados serán proposiciones moleculares y por ende ahí esta oculto el valor de verdad de las proposiciones atómicas.
Para resolver todo esto y conocer su valor de verdad, se utiliza la tabla de verdad.
Pasos para realizar las formas proposicionales en la tabla de verdad
- Se realiza la fórmula ya aprendida para saber la cantidad de columnas y filas que tendrá la tabla 2^n
- Se llena la primera columna con las notaciones 0 y 1, esto se hace de acuerdo a la cantidad de filas (la mitad llevará valores en 1 y la otra mitad valores en 0)
- Para las siguientes filas se realizará lo mismo sólo que ahora contarán la mitad de la mitad para realizar las anotaciones
- Después en las demás columnas se realizan cada una de las operaciones (desde el centro hacia afuera) para poder determinar el valor de la forma proposicional y respetando cada una de las reglas de los operadores lógicos
p
|
q
|
r
|
(pꓦq)
|
̴ r
|
(pꓦq)ꓥ ̴ r
|
pꓥq
|
((pꓦq)ꓥ
̴ r)→(pꓥq)
|
1
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1
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1
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1
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0
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0
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1
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1
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1
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1
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1
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0
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0
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0
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1
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1
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0
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0
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1
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1
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1
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0
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0
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0
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1
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1
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1
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0
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0
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0
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1
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0
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1
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0
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1
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1
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1
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0
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0
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0
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0
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1
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0
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0
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0
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0
|
1
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0
|
0
|
0
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0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
Esta forma proposicional es una CONTINGENCIA
Cuando todo el resultado de una forma proposicional es verdadero se llama tautología
Cuando todo es falso se lama contradicción o falacia
Cuando los valores de verdad son falsos y verdaderos entonces es una contingencia
PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LÓGICOS
ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES
Ejercicios:
La traducción al lenguaje formal la siguiente proposición:
"Si tú eres inteligente y o actúas con prudencia, eres un ignorante en la materia"
Siendo:
m: tú eres inteligente
n: tú actúas con prudencia
p: tú eres un ignorante en la materia
Es:
a) m➡(n∨p)
b) p➡(m⋀∼n)
c) m∨(n∨p)
La traducción sería: (m⋀∼n)➡p. Pero tiene apariencia diferente a las opciones de respuestas, entonces empleando el álgebra proposiciones tenemos:
∼(m⋀∼n)∨p
∼m∨n∨p
~m∨(n∨p)
m➡(n∨p)
Respuesta: a
RAZONAMIENTOS
El tipo de razonamiento que vamos a considerar estará constituido por una enunciación hipotética que tiene como antecedente una conjunción de hipótesis o premisas.
VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO
Un razonamiento es Válido cuando la forma proposicional que se obtiene de la proposición molecular que lo define, es TAUTOLOGÍA.
Ejemplos:
Determine si el siguiente razonamiento es válido o no:
"Llueve bastante y se dañan los cultivos. La SNGR no declara el estado de excepción pero no se dañan los cultivos. Sólo si llueve bastante, la SNGR declara el estado de excepción. Por lo tanto, no se dañan los cultivos"
Las frases subrayadas son las proposiciones utilizadas en este razonamiento, pues se repiten en muchas ocasiones y algunas están negadas. Hasta donde llega el punto seguido es una hipótesis. Y siempre la ultima proposición será la conclusión
a: Llueve bastante
b: Se dañan los cultivos
c: La SNGR declara el estado de excepción
H1: a∧b
H2: ¬c∧¬b
H3: a→c
C: ¬b
{[((a∧b)∧(¬c∧¬b))∧(a→c)]}→¬b
| f | e | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a | b | c | (aꓥb) | ̴ b | ̴ c | ( ̴ c ꓥ ̴ b) | (aꓥb)ꓥ ( ̴ c ꓥ ̴ b) | a→c | fꓥe | (fꓥe)→ ̴ b |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
DEMOSTRACIONES
Sean A y B dos formas proposicionales. Decimos que A es Lógicamente Equivalente a B si y sólo sí A↔B es una tautología
Analicemos la tabla de verdad de las siguientes dos formas proposicionales: p→q y ¬p∨q
| p | q | p→q | ̴ p | ̴ pꓦq | (p→q) → ( ̴ pꓦq) | ( ̴ pꓦq) →(p→q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Nos damos cuenta que siempre vamos a aplicar la tabla de verdad de la misma manera en todas las ocasiones
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